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歌词编辑：91歌词网 发布时间：2025-02-22 本歌词有712个文字，大小约为3KB，预计阅读时间2分钟。
高中竞赛中的不等式是 对不等式的左右两边或条件与结论进行代数变形和化归，而变形的依据是不等式的性质。不等式的性质包括：
1. 对称性（abba）
2. 加法保序性（abacbc）
3. 乘法保序性（ab,c0acbc；ab,）
4. 传递性（ab0ab,ab,ab）
此外，高中竞赛中常用的不等式还包括：
柯西不等式 ：对于任意实数组 $（a_1, a_2, ..., a_n）$ 和 $（b_1, b_2, ..., b_n）$，有 $（a_1^2 + a_2^2 + ... + a_n^2）（b_1^2 + b_2^2 + ... + b_n^2） \geq （a_1b_1 + a_2b_2 + ... + a_nb_n）^2$，等号成立条件为 $\frac{a_1}{b_1} = \frac{a_2}{b_2} = ... = \frac{a_n}{b_n}$。四个平均的关系
平方平均：$\sqrt[n]{a_1^2 + a_2^2 + ... + a_n^2} \geq \sqrt[n]{a_1a_2 + ... + a_na_n}$
算术平均：$\frac{a_1 + a_2 + ... + a_n}{n} \geq \sqrt[n]{a_1a_2 + ... + a_na_n}$
几何平均：$\sqrt[n]{a_1a_2 + ... + a_na_n} \geq \sqrt[n]{a_1 + a_2 + ... + a_n}$
调和平均：$\frac{n}{\frac{1}{a_1} + \frac{1}{a_2} + ... + \frac{1}{a_n}} \geq \sqrt[n]{a_1a_2 + ... + a_na_n}$
排序不等式：
设有两个有序数组 $（a_1, a_2, ..., a_n）$ 和 $（b_1, b_2, ..., b_n）$，则有 $（a_1 + a_2 + ... + a_n）（b_1 + b_2 + ... + b_n） \geq （a_1b_1 + a_2b_2 + ... + a_nb_n）$。
均值不等式：
若 $a_1, a_2, ..., a_n$ 为正实数，则有 $\frac{a_1^2 + a_2^2 + ... + a_n^2}{n} \geq \sqrt[n]{a_1^2a_2^2...a_n^2}$，等号成立条件为 $a_1 = a_2 = ... = a_n$。
伯努利不等式：
若 $a_1, a_2, ..., a_n$ 为正实数，$n \geq 2$，则有 $（1 + a_1 + a_2 + ... + a_{n-1}）^n \geq （1 + a_1）（1 + a_2） ... （1 + a_{n-1}）$。
幂均不等式：
设 $m = （m_1, m_2, ..., m_n）$ 为非负实数序列，且 $m_1 + m_2 + ... + m_n = 1$，若 $a = （a_1, a_2, ..., a_n）$ 为正实数，则有 $（m_1a_1^s + m_2a_2^s + ... + m_na_n^s）^\frac{1}{s} \geq （a_1^s + a_2^s + ... + a_n^s）^\frac{1}{s}$，等号成立条件为 $m_1 = m_2 = ... = m_n$。
切比雪夫不等式：
设 $X$ 为随机变量，$E（X） = \mu$，$D（X） = \sigma^2$，则对于任意正数 $k$，有 $P（|X - \mu| \geq k\sigma） \
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